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鉛直方向の質量-ばねシステムの振動を求める

前回は横向き(水平方向)の質力-ばねシステムの振動について紹介しました。

今回はシンプルな質量-ばねシステム(Mass Spring System)を用いて、このモデルの振動について算出していきたいと思いま...

今回は、縦向き(鉛直方向)の質量-ばねシステムの振動を考えていきたいと思います。

鉛直質量-ばねシステム

図のような質量\(m\)とばね\(k\)のシステムを考えていきます。

前回の水平モデルでは、ばね\(k\)の力のみを考えました。

今回の鉛直モデルでは、ばね\(k\)の力に加えて、質量\(m\)にかかる重力を考慮する必要があります。

重力による影響

質量\(m\)にかかる重力\(f_g\)は重力加速度\(g\)を用いて、

$$ f_g = mg $$

表すことが出来ます。

この重力\(mg\)とばね\(k\)による力のつり合う位置\(\delta\)との関係は、

$$ mg = k \delta $$

となります。

鉛直質量-ばねシステムの振動モデル

重力\(mg\)とばね\(k\)がつり合った点\(\delta\)からの質量\(m\)の変位を\(x\)として、質量\(m\)の運動方程式を求めます。

質量\(m\)にかかる力は重力\(mg\)とばね\(k\)による力\(f_k\)です。

このばね\(k\)による力\(f_k\)は、

$$ f_k = -k \left( x+\delta \right) $$

となります。

よってシステムの運動方程式は、

$$ ma = F $$

$$ \Rightarrow m \ddot{x}(t) = mg -k \left( x(t)+\delta \right)  $$

となります。

ここで、重力\(mg\)とばね\(k\)との釣り合う関係式より、

重力\(mg\)とばね\(k\)と変位\(\delta\)による力は打ち消し合うため、

システムの運動方程式は、

$$ m \ddot{x}(t) = -k x(t) $$

と表すことが出来ます。

この運動方程式は、水平方向の質量-ばねシステムの場合と同じになっています。

そのため、この微分方程式を解いて求める運動(振動)を表す式も同じになります。

よって、鉛直方向の質量-ばねシステムにおいて、初期変位\(x_0\)の場合の変位\(x(t)\)の運動(振動)式は、

$$ x(t) = x_0 cos \left(\sqrt{ \frac{k}{m} } t \right) $$

と表すことが出来ます。

まとめ

今回は、鉛直方向の質量-ばねモデルについて、システムの動き(振動)を求めてみました。

水平方向の場合と違い、鉛直方向の場合は重力の影響を考慮しないといけませんが、最終的な振動の式は同じになることが分かりました。

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