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ラプラス変換を用いてシステムを伝達関数で表す

前回は、線形時不変システム(LTIシステム)を説明しました。

ただ、動的システムに対してLTIシステムのモデルを用いると計算が複雑になってしまいます。

そこで動的システムも静的システムと同様な感じで計算できる方法を紹介します。

それが、ラプラス変換を使って伝達関数で表す方法です。

今回は、線形時不変システム(LTIシステム、Linear Time Invariant System)を説明したいと思います。 ...

ラプラス変換とは

ラプラス変換は時間領域(\(t\)領域)での入力\(u(t)\)と出力\(y(t)\)の関係を、複素数領域(\(s\)領域)に変換する方法です。

ここで、複素数\(s\)は

$$ s = a + jb $$

で表されます。

ラプラス変換の一般式は、

$$ F(s) =  \displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } f(t) e^{-st} dt $$

のように定義されます。

ラプラス変換を示す記号は、

$$ F(s) = \mathcal{L} \lbrack f(t) \rbrack $$

です。

ラプラス変換を使って伝達関数を求める。

時間領域(\(t\)領域)において、入力が\(u(t)\)で出力が\(y(t)\)のLTIシステムを考えます。

システムの入力\(u(t)\)のラプラス変換は\(U(s)\)、出力\(y(t)\)のラプラス変換は\(Y(s)\)となります。

このシステムの\(s\)領域での伝達関数は入力\(U(s)\)と出力\(Y(s)\)の比から

$$ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} $$

となります。

このようにシステムをラプラス変換を用いて\(s\)領域の伝達変数に変換することで、

入力と出力の関係を静的システムのように伝達要素の積で表すことが出来ます。

ロボット制御に用いられる基本の伝達要素とその伝達関数

比例要素

時間領域(\(t\)領域):

$$ y(t) = K u(t) $$

周波数領域(\(s\)領域):

$$ Y(s) = K U(s) $$

微分要素

時間領域(\(t\)領域):

$$ y(t) = \dot{u(t)} $$

周波数領域(\(s\)領域):

$$ Y(s) = s U(s) + u(0) $$

積分要素

時間領域(\(t\)領域):

$$ y(t) = \int_0^t u(t) dt $$

周波数領域(\(s\)領域):

$$ Y(s) = \frac{1}{s} U(s) $$

まとめ

ラプラス変換を使って伝達関数でシステムを\(s\)領域で扱うことで、システム全体の入出力関係を計算するのがとても楽になります。

次回は、具体的なモデルを使って計算していきたいと思います。

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