線形時不変システム(LTIシステム)を理解する

今回は、線形時不変システム(LTIシステム、Linear Time Invariant System)を説明したいと思います。

線形時不変システム(LTIシステム)とは、

  • 線形で
  • 時不変な

システムのことです。

線形システムとは

システムへの入力\(u_1\)に対する出力が\(y_1\)で、入力\(u_2\)に対する出力が\(y_2\)の時、入力信号の和(\(u_1+u_2\))の出力が各出力の和(\(y_1+y_2\))となるとき、このシステムを線形システム(Linear System)と言います。

システム\(L\)に対する入力\(u\)に対する出力\(y\)は、

$$ y(t) = L[u(t)] $$

と表すことが出来ます。

線形システムの場合は、

$$ y_1(t) = L[u_1(t)] $$

$$ y_2(t) = L[u_2(t)] $$

の時に

$$ y_1(t) + y_2(t) = L[u_1(t) + u_2(t)] $$

となります。

一般式で書くと下記のような式で表すことが出来ます。

$$ u(t) = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } a_i u_i (t) $$

$$ y(t) = L[u(t)] = L \left[ \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } a_i u_i (t) \right] = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } a_i L[u_i (t)]  $$

時不変システムとは

システム\(L\)への入力\(u\)とその出力\(y\)の関係が時間\(t\)によって変化しない場合、このシステムを時不変システム(Time Invariant System)と言います。

時不変システムの場合、

$$ y(t) = L[u(t)] $$

の時に、時刻\(t\)から\(k\)だけ入力が送れた場合\(u(t-k)\)の出力\(y(t-k)\)は、

$$ y(t-k) = L[u(t-k)] $$

と入力と同様に時刻\(t\)から\(k\)だけ遅れた値になります。

時不変システムの式は上記のように表すことが出来ます。

線形時不変システムとは

システムが線形で時不変の時、このシステムは線形時不変システムとなります。

線形時不変システムの場合、システムのインパルス応答が分かっていれば、どんな入力に対する出力も計算によって求めることが出来ます。

一般的な線形時不変システムは下記のような方程式で表すことが出来ます。

$$ y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots +  a_1 \dot{y} + a_0 y = b_{n-1} u^{(n-1)} + b_{n-2} u^{(n-2)} + \cdots + b_1 \dot{u} + b_0 u $$

まとめ

今回は線形システムと時不変システム、そして線形時不変システム(LTIシステム)について説明しました。

次回は、動的システムもLTIシステムのように扱うことが出来る方法として、ラプラス変換を使って伝達関数でシステムを表す方法を取り扱いたいと思います。

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