実際に伝達関数からボード線図を漸近線近似で書いてみよう（その２）

ロボットや工作機械などのシステムの伝達関数からボード線図を書く方法を紹介しています。

前回の記事では、与えられた伝達関数からボード線図を書くために、伝達関数を要素ごとに分割する方法を紹介しました。

実際に伝達関数からボード線図を漸近線近似で書いてみようロボットや工作機械などのシステムの伝達関数が与えられた場合に、ボード線図を書く方法を紹介します。前回までの記事で...

今回の記事では、前回の記事で分割した伝達関数の各要素についてボード線図を求めていきます。

Contents

伝達関数と構成要素
各要素のボード線図
まとめ

伝達関数と構成要素

前回からの続きとして、伝達関数$G(s)$

$$ G(s) = \frac{4(s+5)}{s (s+0.2) (s+10)} $$

が与えられた場合のボード線図を求めていきます。

この伝達関数$G(s)$を

$$ G(s) = \frac{10 (\frac{s}{5}+1)}{s (5 s+1) (\frac{s}{10}+1)} $$

と変換することで、ボード線図の足し合わせが容易になります。

この変換した伝達関数$G(s)$を構成する要素

比例要素：$10$
積分要素：$\frac{1}{s}$
１次進み要素：$\frac{s}{5}+1$
１次遅れ要素：$\frac{1}{5s+1}$、$\frac{1}{\frac{s}{10}+1}$

について、各要素のボード線図を足し合わせることで、システム全体のボード線図を求めていきます。

各要素のボード線図

伝達関数$G(s)$を構成する各要素について、ボード線図を書いていきます。

各要素のボード線図についての詳細は、こちらのページから各記事のリンクを参考にしてください。

ボード線図入門ボード線図（Bode Plot）についての情報を紹介します。ボード線図とは各要素のボード線図の書き方 ...

比例要素

伝達関数$G(s)$に含まれる比例要素$10$について、ボード線図を求めます。

比例要素のゲイン線図は、一定値の直線で表すことが出来ます。

今回の比例要素$10$の場合、この一定値は

$$ Magnitude = 20 log 10 = 20 \ [dB] $$

で求められます。

また、比例要素では位相は変化しないため、位相線図は0[deg]の直線で表すことが出来ます。

積分要素

次に、伝達関数$G(s)$に含まれる積分要素$\frac{1}{s}$について、ボード線図を求めていきます。

積分要素のゲイン線図は、右下がりの直線で表すことが出来ます。

この直線の傾きは-20[dB/decade]で、周波数$\omega$が1[rad/sec]の時に0[dB]の線と交わります。

また、積分要素の位相線図は-90[deg]の直線で表すことが出来ます。

１次進み要素

伝達関数$G(s)$に含まれる１次進み要素$\frac{s}{5}+1$について、漸近線近似を用いてボード線図を求めていきます。

１次進み要素のゲイン線図は２つの漸近線を用いて近似することが出来ます。

今回の１次進み要素$\frac{s}{5}+1$の場合は、周波数$\omega$が5[rad/sec]までゲイン0[dB]の漸近線で表し、そのあと傾き20[dB/decade]の漸近線を用いて表します。

１次進み要素の位相線図は3つの漸近線を用いて近似することが出来ます。

今回の伝達関数$G(s)$に含まれる１次進み要素$\frac{s}{5}+1$の場合は、周波数$\omega$が0.5[rad/sec]まで位相0[deg]の漸近線で表し、そのあと傾き45[deg/decade]の漸近線を用いて表します。

そして、周波数$\omega$が50[rad/sec]の点から位相90[deg]の漸近線で表すことが出来ます。

１次遅れ要素

伝達関数$G(s)$に含まれる１次遅れ要素$\frac{1}{5s+1}$と$\frac{1}{\frac{s}{10}+1}$について、それぞれ漸近線近似を用いてボード線図を求めていきます。

１次進み要素の場合と同様に、１次遅れ要素のゲイン線図は２つの漸近線を用いて近似することが出来ます。

また、位相線図についても１次進み要素の場合と同様に3つの漸近線を用いて近似することが出来ます。

１次遅れ要素$\frac{1}{5s+1}$の場合

１次遅れ要素$\frac{1}{5s+1}$のゲイン線図は、周波数$\omega$が0.2[rad/sec]までゲイン0[dB]の漸近線で表し、そのあと傾き-20[dB/decade]の漸近線を用いて表します。

また位相線図は、周波数$\omega$が0.02[rad/sec]まで位相0[deg]の漸近線で表し、そのあと傾き-45[deg/decade]の漸近線を用いて表したあと、周波数$\omega$が2[rad/sec]の点より位相-90[deg]の漸近線で表すことが出来ます。