実際に伝達関数からボード線図を漸近線近似で書いてみよう(その2)

ロボットや工作機械などのシステムの伝達関数からボード線図を書く方法を紹介しています。

前回の記事では、与えられた伝達関数からボード線図を書くために、伝達関数を要素ごとに分割する方法を紹介しました。

ロボットや工作機械などのシステムの伝達関数が与えられた場合に、ボード線図を書く方法を紹介します。 前回までの記事では、...

今回の記事では、前回の記事で分割した伝達関数の各要素についてボード線図を求めていきます。

伝達関数と構成要素

前回からの続きとして、伝達関数\(G(s)\)

$$ G(s) = \frac{4(s+5)}{s (s+0.2) (s+10)} $$

が与えられた場合のボード線図を求めていきます。

この伝達関数\(G(s)\)を

$$ G(s) = \frac{10 (\frac{s}{5}+1)}{s (5 s+1) (\frac{s}{10}+1)} $$

と変換することで、ボード線図の足し合わせが容易になります。

この変換した伝達関数\(G(s)\)を構成する要素

  • 比例要素:\(10\)
  • 積分要素:\(\frac{1}{s}\)
  • 1次進み要素:\(\frac{s}{5}+1\)
  • 1次遅れ要素:\(\frac{1}{5s+1}\)、\(\frac{1}{\frac{s}{10}+1}\)

について、各要素のボード線図を足し合わせることで、システム全体のボード線図を求めていきます。

各要素のボード線図

伝達関数\(G(s)\)を構成する各要素について、ボード線図を書いていきます。

各要素のボード線図についての詳細は、こちらのページから各記事のリンクを参考にしてください。

ボード線図(Bode Plot)についての情報を紹介します。 ボード線図とは 各要素のボード線図の書き方 実際...

比例要素

伝達関数\(G(s)\)に含まれる比例要素\(10\)について、ボード線図を求めます。

比例要素のゲイン線図は、一定値の直線で表すことが出来ます。

今回の比例要素\(10\)の場合、この一定値は

$$ Magnitude = 20 log 10 = 20 \ [dB] $$

で求められます。

また、比例要素では位相は変化しないため、位相線図は0[deg]の直線で表すことが出来ます。

積分要素

次に、伝達関数\(G(s)\)に含まれる積分要素\(\frac{1}{s}\)について、ボード線図を求めていきます。

積分要素のゲイン線図は、右下がりの直線で表すことが出来ます。

この直線の傾きは-20[dB/decade]で、周波数\(\omega\)が1[rad/sec]の時に0[dB]の線と交わります。

また、積分要素の位相線図は-90[deg]の直線で表すことが出来ます。

1次進み要素

伝達関数\(G(s)\)に含まれる1次進み要素\(\frac{s}{5}+1\)について、漸近線近似を用いてボード線図を求めていきます。

1次進み要素のゲイン線図は2つの漸近線を用いて近似することが出来ます。

今回の1次進み要素\(\frac{s}{5}+1\)の場合は、周波数\(\omega\)が5[rad/sec]までゲイン0[dB]の漸近線で表し、そのあと傾き20[dB/decade]の漸近線を用いて表します。

1次進み要素の位相線図は3つの漸近線を用いて近似することが出来ます。

今回の伝達関数\(G(s)\)に含まれる1次進み要素\(\frac{s}{5}+1\)の場合は、周波数\(\omega\)が0.5[rad/sec]まで位相0[deg]の漸近線で表し、そのあと傾き45[deg/decade]の漸近線を用いて表します。

そして、周波数\(\omega\)が50[rad/sec]の点から位相90[deg]の漸近線で表すことが出来ます。

1次遅れ要素

伝達関数\(G(s)\)に含まれる1次遅れ要素\(\frac{1}{5s+1}\)と\(\frac{1}{\frac{s}{10}+1}\)について、それぞれ漸近線近似を用いてボード線図を求めていきます。

1次進み要素の場合と同様に、1次遅れ要素のゲイン線図は2つの漸近線を用いて近似することが出来ます。

また、位相線図についても1次進み要素の場合と同様に3つの漸近線を用いて近似することが出来ます。

1次遅れ要素\(\frac{1}{5s+1}\)の場合

1次遅れ要素\(\frac{1}{5s+1}\)のゲイン線図は、周波数\(\omega\)が0.2[rad/sec]までゲイン0[dB]の漸近線で表し、そのあと傾き-20[dB/decade]の漸近線を用いて表します。

また位相線図は、周波数\(\omega\)が0.02[rad/sec]まで位相0[deg]の漸近線で表し、そのあと傾き-45[deg/decade]の漸近線を用いて表したあと、周波数\(\omega\)が2[rad/sec]の点より位相-90[deg]の漸近線で表すことが出来ます。

1次遅れ要素\(\frac{1}{\frac{s}{10}+1}\)の場合

同様に、もう一つの1次遅れ要素\(\frac{1}{\frac{s}{10}+1}\)のゲイン線図は、周波数\(\omega\)が10[rad/sec]までゲイン0[dB]の漸近線で表したあと、傾き-20[dB/decade]の漸近線を用いて表します。

さらに位相線図は、周波数\(\omega\)が1[rad/sec]まで位相0[deg]の漸近線で表したあと、傾き-45[deg/decade]の漸近線を用いて表し、周波数\(\omega\)が100[rad/sec]の点より位相-90[deg]の漸近線で表すことが出来ます。

まとめ

今回は、与えられた伝達関数を構成する各要素について、実際にボード線図を求めていきました。

次回は、今回求めた要素ごとのボード線図から、システム全体のボード線図を求めていきたいと思います。

伝達関数で表されたロボットや工作機械などのシステムのボード線図を書く方法を紹介しています。 前回までの記事では、システ...
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