伝達関数でMIMOシステム（2質量系）を表す

今回はこれまで求めてきたMIMOシステムの運動方程式を基に、2質量系モデルの伝達関数を実際に求めていきます。

2質量系モデルの伝達関数ついての詳細は、この記事を参考にしてください。

多入力・多出力のシステム　MIMO系の伝達関数と状態方程式（状態空間モデル）入力数と出力数が各々1つのシステムをSISI（Single Input Single Output）系と言います。 ...

Contents

MIMOシステムの線形微分方程式とラプラス変換
MIMOシステムの伝達関数
- 入力U₁(s)に対する伝達関数
- 入力U₂(s)に対する伝達関数
まとめ

MIMOシステムの線形微分方程式とラプラス変換

この2質量系MIMOシステムの線形微分方程式は、

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m_1 \ddot{y_1}(t) + \left(c_1+c_2\right) \dot{y_1}(t) + \left(k_1+k_2\right) y_1(t) – c_2 \dot{y_2}(t) – k_2 y_2(t) = u_1(t) \\ m_2 \ddot{y_2}(t) + c_2 \dot{y_2}(t) + k_2 y_2(t) – c_2 \dot{y_1}(t) – k_2 y_1(t) = u_2(t) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

となります。

2質量系モデルの線形微分方程式（運動方程式）については、この記事を参考にしてください。

状態方程式で2質量システム（MIMOシステム）を表す2質量システムを例に、実際にMIMO系システムの運動方程式から状態方程式を求める方法を紹介します。...

この2式についてそれぞれラプラス変換して時間領域tから複素数領域sで表します。

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \left( m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right) \right) Y_1(s) – \left( c_2 s + k_2 \right) Y_2(s) = U_1(s) \\ \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) Y_2(s) – \left( c_2 s + k_2 \right) Y_1(s) = U_2(s) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

このラプラス変換した2式を用いて伝達関数（入力と出力の関係）を示していきます。

MIMOシステムの伝達関数

MIMOシステムの伝達関数は一般的に、

$$ \begin{bmatrix} Y_1 \\ Y_2 \\ \vdots \\ Y_m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} G_{11} & G_{12} & \cdots & G_{1l} \\ G_{21} & G_{22} & \cdots & G_{2l} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ G_{m1} & G_{m2} & \cdots & G_{ml} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_1 \\ U_2 \\ \vdots \\ U_l \end{bmatrix} $$

と定義されます。

MIMOシステム全体の伝達関数を求めるために個々の入力（U₁(s)とU₂(s)）と出力（Y₁(s)とY₂(s)）の伝達関数を求めていきます。

入力U₁(s)に対する伝達関数

入力U₁(s)に対する出力Y₁(s)とY₂(s)の関係を求めるために、入力U₂(s)を除いて（0にして）入力U₁(s)のみのシステムとして伝達関数を算出していきます。

入力がU₁(s)だけの場合のラプラス変換の式は、

となります。

この2式を連立方程式として、各出力（Y₁(s)とY₂(s)）について解いていきます。

2つ目の式からY₂(s)をY₁(s)を用いて表した式が得られます。

$$ \begin{eqnarray} \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) Y_2(s) – \left( c_2 s + k_2 \right) Y_1(s) = 0 \\ \Rightarrow Y_2(s) = \frac{c_2 s + k_2}{m_2 s^2 + c_2 s + k_2} Y_1(s) \end{eqnarray} $$

この式を1つ目の式に代入して整理すると、

$$ \begin{eqnarray} \left( m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right) \right) Y_1(s) – \left( c_2 s + k_2 \right) \frac{c_2 s + k_2}{m_2 s^2 + c_2 s + k_2} Y_1(s) = U_1(s) \\ \Rightarrow \left( m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right) – \frac{\left( c_2 s + k_2 \right) ^2}{m_2 s^2 + c_2 s + k_2} \right) Y_1(s) = U_1(s) \end{eqnarray} $$

となります。

よって、入力U₁(s)に対する出力Y₁(s)の伝達関数G₁₁(s)は、

$$ \begin{eqnarray} G_{11}(s) = \frac{Y_1(s)}{U_1(s)} = \frac{m_2 s^2 + c_2 s + k_2}{ \left( m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right) \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) – \left( c_2 s + k_2 \right) ^2} \\ \Rightarrow G_{11}(s) =\frac{m_2 s^2 + c_2 s + k_2}{ \left( m_1 s^2 + c_1 s + k_1 \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) + m_2 s^2 \left( c_2 s + k_2 \right) } \end{eqnarray} $$

と表すことが出来ます。

つぎに出力Y₂(s)について解いていきます。

2つ目の式から求めたY₂(s)についての式と先ほど求めた伝達関数から、

$$ Y_2(s) = \frac{c_2 s + k_2}{m_2 s^2 + c_2 s + k_2} G_{11}(s) U_1(s) $$

と表されます。

よって、入力U₁(s)に対する出力Y₂(s)の伝達関数G₂₁(s)は、

$$ G_{21}(s) = \frac{Y_2(s)}{U_1(s)} =\frac{c_2 s + k_2}{ \left( m_1 s^2 + c_1 s + k_1 \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) + m_2 s^2 \left( c_2 s + k_2 \right) } $$

となります。

入力U₂(s)に対する伝達関数

入力U₁(s)の場合と同様に、入力U₂(s)に対する出力Y₁(s)とY₂(s)の伝達関数を求めていきます。

入力がU₂(s)だけの場合のラプラス変換の式は、

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \left( m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right) \right) Y_1(s) – \left( c_2 s + k_2 \right) Y_2(s) = 0 \\ \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) Y_2(s) – \left( c_2 s + k_2 \right) Y_1(s) = U_2(s) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

となります。

1つ目の式から、Y₂(s)についてY₁(s)を用いて表した式が得られます。

$$ Y_2(s) = \frac{m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right)}{c_2 s + k_2} Y_1(s) $$

この式を2つ目の式に代入して整理すると、

$$ \begin{eqnarray} \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) \frac{m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right)}{c_2 s + k_2} Y_1(s) – \left( c_2 s + k_2 \right) Y_1(s) = U_2(s) \\ \Rightarrow \left( \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) \frac{m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right)}{c_2 s + k_2} – \left( c_2 s + k_2 \right) \right) Y_1(s) = U_2(s) \end{eqnarray} $$

となります。

よって、入力U₂(s)に対する出力Y₁(s)の伝達関数G₁₂(s)は、

$$ G_{12}(s) = \frac{Y_1(s)}{U_2(s)} =\frac{c_2 s + k_2}{ \left( m_1 s^2 + c_1 s + k_1 \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) + m_2 s^2 \left( c_2 s + k_2 \right) } $$

と表すことが出来ます。

つぎに出力Y₂(s)について解いていきます。

１つ目の式から求めたY₂(s)についての式と先ほど求めた伝達関数G₁₂(s)から、

$$ Y_2(s) = \frac{m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right)}{c_2 s + k_2} G_{12}(s) U_2(s) $$

よって、入力U₂(s)に対する出力Y₂(s)の伝達関数G₂₂(s)は、

$$ G_{22}(s) = \frac{Y_2(s)}{U_2(s)} =\frac{m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right)}{ \left( m_1 s^2 + c_1 s + k_1 \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) + m_2 s^2 \left( c_2 s + k_2 \right) } $$

となります。

これら個別で求めた各入力に対する各出力の伝達関数を行列でまとめると、MIMOシステム全体の伝達関数を表現することが出来ます。