MIMO系システムの状態空間モデルから伝達関数行列を求める

MIMO系の状態空間モデル(状態方程式)から伝達関数を求める方法を紹介します。

今回もMIMOシステムの例として2質量系モデルを扱います。

このMIMO系モデルの状態空間モデルについては、こちらの記事を参考にしてください。

前回算出した運動方程式を用いて、2質量系モデルの状態方程式を求めていきます。 運動方程式を算出した前回の記事はこちら。 ...

このモデルの伝達関数をラプラス変換を用いて求める方法は、こちらの記事を参考にしてください。

今回はこれまで求めてきたMIMOシステムの運動方程式を基に、2質量系モデルの伝達関数を実際に求めていきます。 2質量系モデルの...

状態空間モデルと伝達関数の関係

以前の記事で、SISO系の質量-ばね-ダンパーシステムについて、状態空間モデルと伝達関数は、

$$ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \boldsymbol{ C } \left( s \boldsymbol{ I } – \boldsymbol{ A } \right)^{-1} \boldsymbol{ B } + D $$

と表すことが出来ると紹介しました。

このSISO系で用いた関係式はMIMO系でも同様に用いることが出来ます。

今回扱っている2質量システムの状態空間モデルの各行列は、

$$ \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ – \frac{k_1+k_2}{m_1} & – \frac{c_1+c_2}{m_1} & \frac{k_2}{m_1} & \frac{c_2}{m_1} \\  0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{k_2}{m_2} & \frac{c_2}{m_2} & – \frac{k_2}{m_2} & – \frac{c_2}{m_2} \end{bmatrix} $$

$$ \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \frac{1}{m_1} & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{m_2} \end{bmatrix} $$

$$ \boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$

$$ \boldsymbol{D} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$

となります。

今回の2質量モデルは、2入力2出力システムなので、算出した伝達関数は\(2 \times 2\)の行列になります。

状態空間モデルから伝達関数の算出

実際に値を入れて計算していきます。

$$ \boldsymbol{G(s)} = \frac{\boldsymbol{Y(s)}}{\boldsymbol{U(s)}} = \boldsymbol{ C } \left( s \boldsymbol{ I } – \boldsymbol{ A } \right)^{-1} \boldsymbol{ B } + \boldsymbol{ D } $$

$$ = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \left( s \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ – \frac{k_1+k_2}{m_1} & – \frac{c_1+c_2}{m_1} & \frac{k_2}{m_1} & \frac{c_2}{m_1} \\  0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{k_2}{m_2} & \frac{c_2}{m_2} & – \frac{k_2}{m_2} & – \frac{c_2}{m_2} \end{bmatrix} \right)^{-1} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \frac{1}{m_1} & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{m_2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$

$$ = \begin{bmatrix} \frac{m_2 s^2 + c_2 s + k_2}{ \left( m_1 s^2 + c_1 s + k_1 \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) + m_2 s^2  \left( c_2 s + k_2 \right) } & \frac{c_2 s + k_2}{ \left( m_1 s^2 + c_1 s + k_1 \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) + m_2 s^2  \left( c_2 s + k_2 \right) } \\ \frac{c_2 s + k_2}{ \left( m_1 s^2 + c_1 s + k_1 \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) + m_2 s^2  \left( c_2 s + k_2 \right) } & \frac{m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right)}{ \left( m_1 s^2 + c_1 s + k_1 \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) + m_2 s^2  \left( c_2 s + k_2 \right) } \end{bmatrix} $$

この伝達関数行列は、以前の記事でラプラス変換から導出した場合との同じになります。

今回はこれまで求めてきたMIMOシステムの運動方程式を基に、2質量系モデルの伝達関数を実際に求めていきます。 2質量系モデルの...

まとめ

今回は状態空間モデル(状態方程式)から伝達関数を求める方法を紹介しました。

すでに状態空間モデルが分かっている場合には、システムの伝達関数は行列計算で求めることが出来ます。

スポンサーリンク
レクタングル(大)広告
レクタングル(大)広告

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする

関連コンテンツ