伝達関数でMIMOシステム(2質量系)を表す

今回はこれまで求めてきたMIMOシステムの運動方程式を基に、2質量系モデルの伝達関数を実際に求めていきます。

2質量系モデルの伝達関数ついての詳細は、この記事を参考にしてください。

入力数と出力数が各々1つのシステムをSISI(Single Input Single Output)系と言います。 ...

MIMOシステムの線形微分方程式とラプラス変換

この2質量系MIMOシステムの線形微分方程式は、

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m_1 \ddot{y_1}(t) + \left(c_1+c_2\right) \dot{y_1}(t) + \left(k_1+k_2\right) y_1(t) – c_2 \dot{y_2}(t) – k_2  y_2(t)  = u_1(t) \\ m_2 \ddot{y_2}(t) + c_2 \dot{y_2}(t) + k_2  y_2(t) – c_2 \dot{y_1}(t) – k_2  y_1(t) = u_2(t) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

となります。

2質量系モデルの線形微分方程式(運動方程式)については、この記事を参考にしてください。

前回算出した運動方程式を用いて、2質量系モデルの状態方程式を求めていきます。 運動方程式を算出した前回の記事はこちら。 ...

この2式についてそれぞれラプラス変換して時間領域\(t\)から複素数領域\(s\)で表します。

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \left( m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right) \right) Y_1(s) – \left( c_2 s + k_2 \right) Y_2(s)  = U_1(s) \\ \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) Y_2(s) – \left( c_2 s + k_2 \right) Y_1(s) = U_2(s) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

このラプラス変換した2式を用いて伝達関数(入力と出力の関係)を示していきます。

MIMOシステムの伝達関数

MIMOシステムの伝達関数は一般的に、

$$ \begin{bmatrix} Y_1 \\ Y_2 \\ \vdots \\ Y_m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} G_{11} & G_{12} & \cdots & G_{1l} \\ G_{21} & G_{22} & \cdots & G_{2l} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ G_{m1} & G_{m2} & \cdots & G_{ml} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_1 \\ U_2 \\ \vdots \\ U_l \end{bmatrix} $$

と定義されます。

MIMOシステム全体の伝達関数を求めるために個々の入力(\(U_1(s)\)と\(U_2(s)\))と出力(\(Y_1(s)\)と\(Y_2(s)\))の伝達関数を求めていきます。

入力\(U_1(s)\)に対する伝達関数

入力\(U_1(s)\)に対する出力\(Y_1(s)\)と\(Y_2(s)\)の関係を求めるために、入力\(U_2(s)\)を除いて(0にして)入力\(U_1(s)\)のみのシステムとして伝達関数を算出していきます。

入力がU1だけの場合のラプラス変換の式は、

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \left( m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right) \right) Y_1(s) – \left( c_2 s + k_2 \right) Y_2(s)  = U_1(s) \\ \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) Y_2(s) – \left( c_2 s + k_2 \right) Y_1(s) = 0 \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

となります。

この2式を連立方程式として、各出力(\(Y_1(s)\)と\(Y_2(s)\))について解いていきます

2つ目の式から\(Y_2(s)\)を\(Y_1(s)\)を用いて表した式が得られます。

$$ \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) Y_2(s) – \left( c_2 s + k_2 \right) Y_1(s) = 0 $$

$$ \Rightarrow Y_2(s) = \frac{c_2 s + k_2}{m_2 s^2 + c_2 s + k_2} Y_1(s) $$

この式を1つ目の式に代入して整理すると、

$$ \left( m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right) \right) Y_1(s) – \left( c_2 s + k_2 \right) \frac{c_2 s + k_2}{m_2 s^2 + c_2 s + k_2} Y_1(s) = U_1(s) $$

$$ \Rightarrow \left( m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right) – \frac{\left( c_2 s + k_2 \right) ^2}{m_2 s^2 + c_2 s + k_2} \right) Y_1(s) = U_1(s) $$

となります。

よって、入力\(U_1(s)\)に対する出力\(Y_1(s)\)の伝達関数\(G_{11}(s)\)は、

$$ G_{11}(s) = \frac{Y_1(s)}{U_1(s)} = \frac{m_2 s^2 + c_2 s + k_2}{ \left( m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right) \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) – \left( c_2 s + k_2 \right) ^2} $$

$$ \Rightarrow G_{11}(s) =\frac{m_2 s^2 + c_2 s + k_2}{ \left( m_1 s^2 + c_1 s + k_1 \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) + m_2 s^2  \left( c_2 s + k_2 \right) } $$

と表すことが出来ます。

つぎに出力\(Y_2(s)\)について解いていきます。

2つ目の式から求めた\(Y_2(s)\)についての式と先ほど求めた伝達関数から、

$$ Y_2(s) = \frac{c_2 s + k_2}{m_2 s^2 + c_2 s + k_2} G_{11}(s) U_1(s) $$

よって、入力\(U_1(s)\)に対する出力\(Y_2(s)\)の伝達関数\(G_{21}(s)\)は、

$$ G_{21}(s) = \frac{Y_2(s)}{U_1(s)} =\frac{c_2 s + k_2}{ \left( m_1 s^2 + c_1 s + k_1 \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) + m_2 s^2  \left( c_2 s + k_2 \right) } $$

となります。

入力\(U_2(s)\)に対する伝達関数

入力\(U_1(s)\)の場合と同様に、入力\(U_2(s)\)に対する出力\(Y_1(s)\)と\(Y_2(s)\)の伝達関数を求めていきます。

入力が\(U_2(s)\)だけの場合のラプラス変換の式は、

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \left( m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right) \right) Y_1(s) – \left( c_2 s + k_2 \right) Y_2(s)  = 0 \\ \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) Y_2(s) – \left( c_2 s + k_2 \right) Y_1(s) = U_2(s) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

となります。

1つ目の式から\(Y_2\)を\(Y_1\)を用いて表した式が得られます。

$$ Y_2(s) = \frac{m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right)}{c_2 s + k_2} Y_1(s) $$

この式を2つ目の式に代入して整理すると、

$$ \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) \frac{m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right)}{c_2 s + k_2} Y_1(s) – \left( c_2 s + k_2 \right) Y_1(s) = U_2(s) $$

$$ \Rightarrow \left( \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) \frac{m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right)}{c_2 s + k_2} – \left( c_2 s + k_2 \right) \right) Y_1(s) = U_2(s) $$

となります。

よって、入力\(U_2(s)\)に対する出力\(Y_1(s)\)の伝達関数\(G_{12}(s)\)は、

$$ G_{12}(s) = \frac{Y_1(s)}{U_2(s)} =\frac{c_2 s + k_2}{ \left( m_1 s^2 + c_1 s + k_1 \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) + m_2 s^2  \left( c_2 s + k_2 \right) } $$

と表すことが出来ます。

つぎに出力\(Y_2(s)\)について解いていきます。

1つ目の式から求めた\(Y_2(s)\)についての式と先ほど求めた伝達関数\(G_{12}(s)\)から、

$$ Y_2(s) = \frac{m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right)}{c_2 s + k_2} G_{12}(s) U_2(s) $$

よって、入力\(U_2(s)\)に対する出力\(Y_2(s)\)の伝達関数\(G_{22}(s)\)は、

$$ G_{22}(s) = \frac{Y_2(s)}{U_2(s)} =\frac{m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right)}{ \left( m_1 s^2 + c_1 s + k_1 \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) + m_2 s^2  \left( c_2 s + k_2 \right) } $$

となります。

これら個別で求めた各入力に対する各出力の伝達関数を行列でまとめると、MIMOシステム全体の伝達関数を表現することが出来ます。

まとめ

今回は2入力2出力のMIMOシステムについて、伝達関数を求める方法を紹介しました。

MIMOは複雑な印象がありますが、一つ一つ丁寧に解いていけばSISOシステムと同様に問題を解くことが可能です。

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