鉛直方向の質量-ばねシステムの振動を求める

前回は横向き（水平方向）の質力-ばねシステムの振動について紹介しました。

質量-ばねシステムの振動を求める 今回はシンプルな質量-ばねシステム（Mass Spring System）を用いて、このモデルの振動について算出していきたいと思...

今回は、縦向き（鉛直方向）の質量-ばねシステムの振動を考えていきたいと思います。

鉛直質量-ばねシステム

図のような質量mとばねkのシステムを考えていきます。

前回の水平モデルでは、ばねkの力のみを考えました。

今回の鉛直モデルでは、ばねkの力に加えて、質量mにかかる重力を考慮する必要があります。

重力による影響

質量mにかかる重力f_gは重力加速度gを用いて、

$$ f_g = mg $$

表すことが出来ます。

この重力mgとばねkによる力のつり合う位置δとの関係は、

$$ mg = k \delta $$

となります。

鉛直質量-ばねシステムの振動モデル

重力mgとばねkがつり合った点δからの質量mの変位をxとして、質量mの運動方程式を求めます。

質量mにかかる力は重力mgとばねkによる力f_kです。

このばねkによる力f_kは、

$$ f_k = -k \left( x+\delta \right) $$

となります。

よってシステムの運動方程式は、

$$ \begin{eqnarray} ma &=& F \\ &\Rightarrow& m \ddot{x}(t) = mg -k \left( x(t)+\delta \right) \end{eqnarray} $$

となります。

ここで、重力mgとばねkとの釣り合う関係式より、重力mgとばねkと変位δによる力は打ち消し合うため、システムの運動方程式は、

$$ m \ddot{x}(t) = -k x(t) $$

と表すことが出来ます。

この運動方程式は、水平方向の質量-ばねシステムの場合と同じになっています。

そのため、この微分方程式を解いて求める運動（振動）を表す式も同じになります。

よって、鉛直方向の質量-ばねシステムにおいて、初期変位x₀の場合の変位x(t)の運動（振動）式は、

$$ x(t) = x_0 cos \left(\sqrt{ \frac{k}{m} } t \right) $$

と表すことが出来ます。

まとめ

今回は、鉛直方向の質量-ばねモデルについて、システムの動き（振動）を求めてみました。

水平方向の場合と違い、鉛直方向の場合は重力の影響を考慮しないといけませんが、最終的な振動の式は同じになることが分かりました。