ダンパーを含んだ剛体振り子の運動（臨界減衰システム、不足減衰システムの場合）

前回は、ダンパーを含んだ剛体振り子の運動について加減衰システムとなる場合を説明しました。

ダンパーを含んだ剛体振り子の運動（加減衰システムの場合）今回は、算出した運動方程式から実際にシステムの運動を求めていきます。運動方程式の算出方法については、こちらの記事...

今回は、残りの2つのケース

臨界減衰システム（Critically Damped System）
不足減衰システム（Underdamped Systeｍ）

について説明したいと思います。

Contents

システムの運動方程式
実際にシステムの運動を求める
- ケース２:　$c=4.1079[N/(m/s)]$
- ケース３:　$c=1[N/(m/s)]$
まとめ

システムの運動方程式

今回のモデルについて、棒の質量が$m=1[kg]$で長さが$L=1[m]$、そしてばね定数を$k=10[N/m]$とした時、

ケース１　ダンパーc=10[N/(m/s)] $\leftarrow$前回の記事

ケース２　ダンパーc=4.1079[N/(m/s)]

ケース３　ダンパーc=1[N/(m/s)]

での各ダンパー定数$c$の場合に、棒を時刻$ｔ＝0$で$\theta_0=1[rad]$で静かに離した時の運動を求めます。

このシステムの運動方程式は、

$$ \frac{1}{3} m L^2 \ddot{\theta} + \frac{4}{9} c L^2 \dot{\theta} + \frac{1}{4} k L^2 \theta = 0 $$

と表すことが出来ます。

この線形微分方程式を$\theta$について解き、各ケースでのパラメータを用いてシステムの運動を算出していきます。

実際にシステムの運動を求める

前回のケース1について求めた時と同様に、

ケース２　ダンパー$c=4.1079[N/(m/s)]$

ケース３　ダンパー$c=1[N/(m/s)]$

について、システムの運動を求めていきます。

ケース２:　$c=4.1079[N/(m/s)]$

線形微分方程式について、この解を、

$$ \theta(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t} $$

とした時の$\lambda_1$と$\lambda_2$を求めると、

$$ \lambda_{1,2} = – \frac{C}{2 M} \pm \frac{1}{2} \sqrt{\left( \frac{C}{M} \right)^2 – \frac{4 K}{M} } $$

となります。

これにケース２での各パラメータを入力すると、

$$ \lambda_1 = \lambda_2 = -2.7386 $$

となり、1つの同じ実数（$\lambda_1=\lambda_2$）になることが分かります。

よって、このシステムの運動は、

$$ \theta(t) = C_1 e^{-2.7386 t} + C_2 t e^{-2.7386 t}$$

となります。

この式と時刻$t=0$での初期条件$\theta(0)=\theta_0=1$と$\dot{\theta}(0)=0$を用いて、$C_1$と$C_2$を求めます。

時刻$t=0$で$\theta(0)=1$なので、

$$ \theta(0) = C_1 e^{0} + C_2 \cdot 0 e^{0} = 1 $$

$$ \Rightarrow C_1 = 1 $$

の関係式が得られます。

次に、時刻$t=0$で$\dot{\theta}(0)=0$なので、

$$ \dot{\theta}(t) = -2.7386 C_1 e^{-2.7386 t} + C_2 e^{-2.7386 t}+ -2.7386 C_2 t e^{-2.7386 t}$$

$$ \Rightarrow \dot{\theta}(0) = -2.7386 C_1 e^{0} + C_2 e^{0} – 2.7386 C_2 \cdot 0 e^{0} = 0 $$

$$ \Rightarrow -2.7386 C_1 + C_2 = 0 $$

の関係式が得られます。

この2式を連立方程式として解くことで$C_1$と$C_2$は、

$$ C_1 = 1 $$

$$ C_2 = -2.7386 $$

となります。

よって、ケース２のパラメータでのシステムの運動は、

$$ \theta(t) =e^{ -2.7386 t} – 2.7386 t e^{ -2.7386 t}$$

と表すことが出来ます。

グラフで見ると、棒の角度が初期角度の$\theta_0=1[rad]$から徐々に小さくなり、一度少しだけ0超えたあと、また0に近づくことが分かります。

このようなシステムを臨界減衰システム（Critically Damped System）と言います。

ケース３:　$c=1[N/(m/s)]$

ケース２と同様にケース３での各パラメータを入力すると、

$$ \lambda_1 = -0.6667 + 2.6562i $$

$$ \lambda_2 = -0.6667 – 2.6562i $$

となり、2つの同じ共役な複素数になることが分かります。

よって、このシステムの運動は、

$$ \theta(t) = C_1 e^{(-0.6667 + 2.6562i) t} + C_2 e^{(-0.6667 – 2.6562i) t}$$

となります。

このまま計算しても良いのですが、次のように式の形を変えて表したいと思います。

$$ \theta(t) = C_1 e^{(-0.6667 + 2.6562i) t} + C_2 e^{(-0.6667 – 2.6562i) t}$$

$$ = C_1 e^{-0.6667 t} e^{i 2.6562 t} + C_2 e^{-0.6667 t} e^{-i 2.6562 t} $$

$$ = e^{-0.6667 t} \left( C_1 e^{i 2.6562 t} + C_2 e^{-i 2.6562 t} \right) $$

$$ = e^{-0.6667 t} \left( A \cos (2.6562 t) + B \sin (2.6562 t) \right) $$

この式と時刻$t=0$での初期条件$\theta(0)=\theta_0=1$と$\dot{\theta}(0)=0$を用いて、$A$と$B$を求めます。

時刻$t=0$で$\theta(0)=1$なので、

$$ \theta(0) = e^{0} \left( A \cos (0) + B \sin (0) \right) = 1 $$

$$ \Rightarrow A = 1 $$

の関係式が得られます。

次に、時刻$t=0$で$\dot{\theta}(0)=0$なので、

$$ \dot{\theta}(t) = -0.6667 e^{-0.6667 t} \left( A \cos (2.6562 t) + B \sin (2.6562 t) \right) +e^{-0.6667 t} \left( -2.6562 A \sin (2.6562 t) + 2.6562 B \cos (2.6562 t) \right) $$

$$ \Rightarrow \dot{\theta}(0) = -0.6667 e^{0} \left( A \cos (0) + B \sin (0) \right) +e^{0} \left( -2.6562 A \sin (0) + 2.6562 B \cos (0) \right) = 0 $$

$$ \Rightarrow -0.6667 A + 2.6562 B = 0 $$

の関係式が得られます。

この2式を連立方程式として解くことで$C_1$と$C_2$は、

$$ A = 1 $$

$$ B = 0.2510 $$

となります。

よって、ケース３のパラメータでのシステムの運動は、

$$ \theta(t) =e^{-0.6667 t} \left( \cos (2.6562 t) + 0.2510 \sin (2.6562 t) \right) $$

と表すことが出来ます。