Bスプライン曲線の書き方：次数を上げてスムーズなカーブを作成する方法

以前の記事では、移動ロボットや工作機械などに与えられた離散的な指令点を、2次のBスプライン曲線（またはB-スプライン曲線）を用いて補間する方法（B-spline Interpolation）を紹介しました。

実際にBスプライン曲線で指令値を補間してみた：ロボットの軌跡生成これまでのシリーズ記事では、Bスプライン曲線を用いた離散的で不連続な指令点を連続で滑らかに補間する方法を紹介しています。 ...

今回は、取り扱うBスプライン曲線の次数を3次、４次、５次と上げた場合について、出来上がる曲線の様子を確認してみたいと思います。

Contents

取り扱う問題とBスプライン曲線
２次Bスプライン曲線と３次Bスプライン曲線
- Bスプライン基底関数
- Bスプライン基底関数の比較
Bスプライン曲線の比較
まとめ

取り扱う問題とBスプライン曲線

今回の記事では、図のような離散的な6点の指令点（✕）が与えられた場合について、Bスプライン曲線を用いて滑らかに補間します。

Bスプライン曲線の基本式は

$$ \boldsymbol{ S }(u) = \displaystyle \sum_{ i = 0 }^{ p-1 } \boldsymbol{ P }_i b_{i,n}(u) \ , \quad u \in [u_0,u_{m-1}] $$

と表されます。

また、B‐スプライン基底関数は

$$ \begin{eqnarray} \begin{array}{l} b_{j,0}(u) := \left\{ \begin{array}{l} 1 \quad \mathrm{if} \ u_j \leq u \lt u_{j+1}\\ 0 \quad \mathrm{otherwise} \end{array} \right. \ , \quad j=0,1,\cdots, m-2 \\ b_{j,k}(u) = \frac{u-u_j}{u_{j+k}-u_j} b_{j,k-1}(u) + \frac{u_{j+k+1}-u}{u_{j+k+1}-u_{j+1}} b_{j+1,k-1}(u) \ , \quad j=0,1,\cdots, m-k-2 \end{array} \end{eqnarray} $$

のようにノットベクトルu内のノットを用いて定義されます。

ここで、求めるBスプライン曲線の次数nを3とすると、今回の記事で与えられた指令点の数pは6なので、ノットベクトルu内のノット数mは

$$ m = p + n + 1 = 6 + 3 + 1 = 10 $$

より、このBスプライン曲線の基本式は

$$ \boldsymbol{ S }(u) = \displaystyle \sum_{ i = 0 }^{ 5 } \boldsymbol{ P }_i b_{i,3}(u) \ , \quad u \in [u_0,u_9] $$

となります。

同様に、Bスプライン基底関数も

$$ \begin{eqnarray} \begin{array}{l} b_{j,0}(u) := \left\{ \begin{array}{l} 1 \quad \mathrm{if} \ u_j \leq u \lt u_{j+1}\\ 0 \quad \mathrm{otherwise} \end{array} \right. \ , \quad j=0,1,\cdots, 8 \\ b_{j,k}(u) = \frac{u-u_j}{u_{j+k}-u_j} b_{j,k-1}(u) + \frac{u_{j+k+1}-u}{u_{j+k+1}-u_{j+1}} b_{j+1,k-1}(u) \ , \quad j=0,1,\cdots, 8-k \end{array} \end{eqnarray} $$

のように書き換えることが出来ます。

今回は、ノットベクトルuとして開一様ノットベクトルを用います。

与えられたp=6点の指令点を次数n=3のBスプライン曲線で保管する場合の開一様ノットベクトルuは

$$ \boldsymbol{u} = [0,0,0,0,0.333,0.667,1,1,1,1] $$

となります。

２次Bスプライン曲線と３次Bスプライン曲線

上の図は、実際に３次のBスプライン曲線を使用して離散点を補間した結果を２次のBスプライン曲線の場合と比較した結果です。

3次Bスプライン補間（赤線）の方が2次Bスプライン補間（青線）よりもカーブが緩くスムーズな曲線となっていることが分かります。

また、3次Bスプライン補間の方が2次Bスプライン補間よりも与えられた元の軌跡（黒✕線）との差が大きいことも分かります。

Bスプライン基底関数

実際に3次のBスプライン曲線を描くために用いたB-スプライン基底関数の様子を紹介します。

まず、Bスプライン基底関数b_j,0は下図のようになります。

この時のBスプライン基底関数b_j,0についての式は

$$ b_{j,0}(u) := \left\{ \begin{array}{l} 1 \quad \mathrm{if} \ u_j \leq u \lt u_{j+1}\\ 0 \quad \mathrm{otherwise} \end{array} \right. \ , \quad j=0,1,\cdots, 8 $$

と表されます。

同様に、Bスプライン基底関数b_j,1は下の図のように表されます。