モード解析（Modal Analysis）を用いることで、システムがどのように振動するかを求めることが出来ます。
前回の記事では、モード解析（Modal Analysis）を用いて求めたパラメータを用いて、実際に2質量システムがどのように振動するかを式で表す方法を紹介しました。
今回は、求めた2質量システムの運動をグラフで表していきます。
モード解析で求めた2質量システムの運動式
図のように2つの質量（\(m_1\)と\(m_2\)）が、それぞればね（\(k_1\)と\(k_2\)）によって壁と互いに接続されているモデルを扱います。
各パラメータについて、
$$ m_1 = m_2 = m $$
$$ k_1 = 3 k $$
$$ k_2 = 2 k $$
とすると、この2質量モデルの運動方程式は、
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m \ddot{x}_1(t) + 5 k x_1(t) – 2 k x_2(t) = 0 \\ m \ddot{x}_2(t) – 2 k x_1(t) + 2 k x_2(t) = 0 \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
となります。
初期条件として時刻\(t=0\)で
$$ x_1(0) = 1 $$
$$ x_2(0) = 0 $$
$$ \dot{x}_1(0) = \dot{x}_2(0) = 0 $$
とします。
このシステムについてモード解析を用いると、2質量システムの運動は、
$$ x_1(t) = \frac{4}{5} \sin \left( t + \frac{\pi}{2} \right) +\frac{1}{5}\sin \left( \sqrt{6} t + \frac{\pi}{2} \right) $$
$$ x_2(t) = \frac{2}{5} \sin \left( t + \frac{\pi}{2} \right) – \frac{2}{5} \sin \left( \sqrt{6} t + \frac{\pi}{2} \right) $$
と表すことが出来ました。
詳しくはこちらの記事を参考にしてください。
2質量システムの運動
2質量システムの各質量（\(m_1\)と\(m_2\)）の運動を表す式
$$ x_1(t) = \frac{4}{5} \sin \left( t + \frac{\pi}{2} \right) +\frac{1}{5}\sin \left( \sqrt{6} t + \frac{\pi}{2} \right) $$
$$ x_2(t) = \frac{2}{5} \sin \left( t + \frac{\pi}{2} \right) – \frac{2}{5} \sin \left( \sqrt{6} t + \frac{\pi}{2} \right) $$
には、
$$ {\omega_1}^2 = 1 $$
$$ {\omega_2}^2 = 6 $$
という2つの角周波数（\(\omega_1\)と\(\omega_2\)）が含まれています。
質量\(m_1\)の運動
質量\(m_1\)について、角周波数\(\omega_1\)（破線）と角周波数\(\omega_2\)（点線）に対する波形をグラフで表します。
この角周波数\(\omega_1\)（破線）と角周波数\(\omega_2\)（点線）に対する波形を合成すると、質量\(m_1\)の運動を求めることが出来ます。
質量\(m_2\)の運動
同様に、質量\(m_2\)について、それぞれの角周波数（\(\omega_1\)（破線）、\(\omega_2\)（点線））に対する波形と合成した波形（実線）をグラフで表します。
システムの振動
2質量の運動をグラフで確認します。
グラフから、質量\(m_1\)（青線）は初期条件\(x_1 = 1\)からはじまり、2つの周期的な振動の合成した動きになることが分かりました。
質量\(m_2\)（赤線）は、初期条件\(x_2 = 0\)から静止した状態で始まるが、システム内の他の影響により質量\(m_1\)（青線）と同様に振動することが分かりました。
まとめ
今回は、モード解析（Modal Analysis）を用いて求めたパラメータを用いて、実際に2質量システムがどのように振動するかをグラフで確認してみました。
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