摩擦を含む3自由度系の運動方程式を算出する：質量-ばね-ダンパーシステム

制御工学の基本である運動方程式について、様々な例題を用いて算出方法を紹介しています。

以前の記事では、摩擦を含む2自由度の質量-ばね-ダンパーシステムについて、運動方程式の算出する考え方を紹介しました。

摩擦を含んだ2質量系の運動方程式を求める方法システムの運動方程式や伝達関数の導出は、制御工学においての基本であり、とても重要です。この運動方程式や伝達関数の...

今回は3自由度系の質量-ばね-ダンパーシステムについて、運動方程式を算出する流れを紹介します。

Contents

取り扱う3自由度システム
3自由度系の運動方程式の算出
まとめ

取り扱う3自由度システム

今回の記事では、下図に示すような3自由度系のモデルを取り扱います。

図に示すように、3つの質量がばねやダンパーで繋がれ、各質量の間には摩擦が生じています。

この摩擦を含めた3自由度の質量-ばね-ダンパーシステムについて、運動方程式を算出していきます。

3自由度系の運動方程式の算出

取り扱う3自由度系の運動方程式を求めるために、各質量（m₁、m₂、m₃）に加わる力の関係式を求めていきます。

質量m₁について

質量m₁に影響する力を考えます。

質量m₁には、

質量m₁の運動による力
壁との間に接続されたばねk₁とダンパーc₁による力
床との間に生じる摩擦b₁による力
質量m₂との間に接続されたばねk₂とダンパーc₂による力
質量m₃との間に生じる摩擦b₃による力

が加わります。

これら質量m₁に関する力を図で表すと下図のようになります。

この質量m₁に加わる力の関係を式で表すと

$$ m_1 \ddot{x}_1(t) + b_1 \dot{x}_1(t) + c_1 \dot{x}_1(t) + k_1 x_1(t) + c_2 \left( \dot{x}_1(t) – \dot{x}_2(t) \right) + k_2 \left( x_1(t) – x_2(t) \right) + b_3 \left( \dot{x}_1(t) – \dot{x}_3(t) \right) = 0 $$

となります。

この質量m₁の関係式を整理すると

$$ m_1 \ddot{x}_1(t) + \left( c_1 + c_2 + b_1 + b_3 \right) \dot{x}_1(t) + \left( k_1 + k_2 \right) x_1(t) – c_2 \dot{x}_2(t) – k_2 x_2(t) – b_3 \dot{x}_3(t) = 0 $$

のように、質量m₁に関する運動方程式を求めることが出来ました。

質量m₂について

同様に、質量m₂に影響する力を考えます。

質量m₂には、

質量m₂の運動による力
質量m₁との間に接続されたばねk₂とダンパーc₂による力
床との間に生じる摩擦b₂による力
質量m₃との間に生じる摩擦b₄による力

が加わります。

そして、質量m₂には力fが加わっています。

これら質量m₂に関する力は下の図のように表されます。

この質量m₂に加わる力の関係を式で表すと

$$ m_2 \ddot{x}_2(t) + b_2 \dot{x}_2(t) +c_2 \left( \dot{x}_2(t) – \dot{x}_1(t) \right) + k_2 \left( x_2(t) – x_1(t) \right) + b_4 \left( \dot{x}_2(t) – \dot{x}_3(t) \right) = f(t) $$

となります。

この関係式を整理すると

$$ m_2 \ddot{x}_2(t) + \left( c_2 + b_2 + b_4 \right) \dot{x}_2(t) + k_2 x_2(t) – c_2 \dot{x}_1(t) – k_2 x_1(t) – b_4 \dot{x}_3(t) = f(t) $$

のように、質量m₂に関する運動方程式を得られました。

質量m₃について

最後に、質量m₃に影響する力を考えます。

質量m₃には、

質量m₃の運動による力
質量m₁との間に生じる摩擦b₃による力
質量m₂との間に生じる摩擦b₄による力

が加わります。

これらの力を質量m₃の関係式としてまとめると、

$$ m_3 \ddot{x}_3(t) + b_2 \left( \dot{x}_3(t) – \dot{x}_1(t) \right) + b_4 \left( \dot{x}_3(t) – \dot{x}_2(t) \right) = 0 $$

となります。

この関係式を整理することで、質量m₃についての運動方程式

$$ m_3 \ddot{x}_3(t) + \left( b_3 + b_4 \right) \dot{x}_3(t) – b_3 \dot{x}_1(t) – b_4 \dot{x}_2(t) = 0 $$

を求めることが出来ました。

小まとめ

以上より、今回の記事で取り扱っている3自由度系の運動方程式を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m_1 \ddot{x}_1(t) + \left( c_1 + c_2 + b_1 + b_3 \right) \dot{x}_1(t) + \left( k_1 + k_2 \right) x_1(t) – c_2 \dot{x}_2(t) – k_2 x_2(t) – b_3 \dot{x}_3(t) &=& 0 \\ m_2 \ddot{x}_2(t) + \left( c_2 + b_2 + b_4 \right) \dot{x}_2(t) + k_2 x_2(t) – c_2 \dot{x}_1(t) – k_2 x_1(t) – b_4 \dot{x}_3(t) &=& f(t) \\ m_3 \ddot{x}_3(t) + \left( b_3 + b_4 \right) \dot{x}_3(t) – b_3 \dot{x}_1(t) – b_4 \dot{x}_2(t) &=& 0 \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

と導出することが出来ました。