伝達関数モデルから状態空間モデルを求める

今回は、伝達関数モデルから状態空間モデルを求める方法を紹介します。

また、求めた前回求めた状態空間モデルから伝達関数モデルを算出する方法も紹介します。

伝達関数モデルについては、この記事を参考にして下さい。

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状態空間モデルは、この記事を参考にして下さい。

状態空間モデルを用いて動的システムを表す今回は動的システムを状態空間モデル（State Space Model）で表す方法を紹介します。状態空間モデルとは ...

Contents

伝達関数から状態空間モデルを算出
状態空間モデルから伝達関数への変換
まとめ

伝達関数から状態空間モデルを算出

今回は、動的システムとして質量‐ばね‐ダンパーモデルを例に計算していきます。

このシステムの伝達関数は入力を$U(s)$出力を$Y(s)$とすると、

$$ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{N_p(s)}{D_p(s)} = \frac{\frac{1}{m}}{s^2 + \frac{c}{m} s +\frac{k}{m}} $$

と表されます。

この分子$Y(s) = N_p(s)$と分母$U(s) = D_p(s)$の両方に$W(s)$を掛けると、

$$ U(s) = D_p(s) W(s) = s^2 W(s) + \frac{c}{m} s W(s) +\frac{k}{m} W(s) $$

$$ Y(s) = N_p(s) W(s) = \frac{1}{m} W(s) $$

となります。

ここで、状態変数$X(s)$を

$$ X_i (s) = s^{i-1} W(s) \quad (i = 1,\ldots,n)$$

とします。

この分子と分母の式について、行列とベクトルを用いた式で表すと、

$$ s \boldsymbol{ X }(s) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ – \frac{k}{m} & – \frac{c}{m} \end{bmatrix} \boldsymbol{ X }(s) + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} U(s) $$

$$ Y(s) = \begin{bmatrix} \frac{1}{m} & 0 \end{bmatrix} \boldsymbol{ X } (s)$$

となります。

この式を逆ラプラス変換すると状態方程式と出力方程式になります。

状態空間モデルから伝達関数への変換

質量‐ばね‐ダンパーシステムの状態空間モデルにおける行列およびベクトルは、

$$ \boldsymbol{ A } = \begin{bmatrix} -\frac{c}{m} & -\frac{k}{m} \\ 1 & 0 \end{bmatrix} , \boldsymbol{ B } = \begin{bmatrix} \frac{1}{m} \\ 0 \end{bmatrix} , \boldsymbol{ C } = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} , D = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} $$

となります。

状態空間モデルから伝達関数への変換は、

$$ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \boldsymbol{ C } (s \boldsymbol{ I } – \boldsymbol{ A })^{-1} \boldsymbol{ B } + D $$

で表すことが出来ます。