2質量モデルの振動を求める：振動を表す式の算出

複数の質量からなるモデルを用いて、このシステムの振動を算出する方法を紹介します

前の記事では、2質量モデルの運動方程式を求める方法を紹介しました。

2質量モデルの振動を求める：運動方程式の算出複数の質量からなるモデルを用いて、このシステムの振動を算出する方法を紹介します。 1つの質量からなるモデルの振動に...

今回は、運動方程式からシステムの振動の様子をラプラス変換を用いて算出する方法を紹介します。

Contents

2質量モデルの運動方程式
2質量モデルとラプラス変換
まとめ

2質量モデルの運動方程式

図のように2つの質量（m₁とm₂）が、それぞればね（k₁、k₂、k₃）によって壁と互いに接続されているモデルを扱います。

この2質量モデルの運動方程式は、

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m_1 \ddot{x}_1(t) + \left(k_1 + k_2\right) x_1(t) – k_2 x_2(t) = 0 \\ m_2 \ddot{x}_2(t) – k_2 x_1(t)+ \left(k_2 + k_3\right) x_2(t) = 0 \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

と表すことが出来ます。

詳しくは、こちらの記事を参考にしてください。

今回は問題の簡略化のため、

$$ m_1 = m_2 = m $$

$$ k_1 = k_2 = k_3 = k $$

として考えます。

この条件を基にシステムの運動方程式を書き換えると、

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m \ddot{x}_1(t) + 2 k x_1(t) – k x_2(t) = 0 \\ m \ddot{x}_2(t) – k x_1(t) + 2 k x_2(t) = 0 \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

となります。

さらに初期条件として、時刻t=0において、

$$ x_1(0) = 0 $$

$$ x_2(0) = 1 $$

$$ \dot{x}_1(0) = \dot{x}_2(0) = 0 $$

とします。

この条件のもと、運動方程式に対してラプラス変換を行い、システムの振動の様子を算出していきます。

2質量モデルとラプラス変換

2質量モデルの運動方程式を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m \ddot{x}_1(t) + 2 k x_1(t) – k x_2(t) = 0 \\ m \ddot{x}_2(t) – k x_1(t) + 2 k x_2(t) = 0 \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

$$ \Rightarrow \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \ddot{x}_1(t) + 2 {\omega_n}^2 x_1(t) – {\omega_n}^2 x_2(t) = 0 \\ \ddot{x}_2(t) – {\omega_n}^2 x_1(t) + 2 {\omega_n}^2 x_2(t) = 0 \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

と一般的な式に置き換えます。

ここで、

$$ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} $$

です。

この2式をラプラス変換を用いて時間領域tから複素数領域sに変換すると、

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} X_1(s) \left( s^2 + 2 {\omega_n}^2 \right) + X_2(s) \left(- {\omega_n}^2 \right) = 0 \\ X_1(s) \left(- {\omega_n}^2 \right) + X_2(s) \left( s^2 + 2 {\omega_n}^2 \right) = s \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

となります。

この連立方程式をX₁(s)とX₂(s)について解いていきます。

まずX₁(s)について解くと、

$$ X_1(s) = \frac{\mathrm{ det } \begin{vmatrix} 0 & – {\omega_n}^2 \\ s & s^2 + 2 {\omega_n}^2 \end{vmatrix}}{\mathrm{ det } \begin{vmatrix} s^2 + 2 {\omega_n}^2 & – {\omega_n}^2 \\ – {\omega_n}^2 & s^2 + 2 {\omega_n}^2 \end{vmatrix}} $$

$$ = \frac{{\omega_n}^2 s}{\left( s^2 + 2 {\omega_n}^2 \right)^2 – {\omega_n}^4} = \frac{{\omega_n}^2 s}{\left( s^2 + {\omega_n}^2 \right)^2 \left( s^2 + 3 {\omega_n}^2 \right)^2} $$

$$ = \frac{\frac{1}{2} s}{s^2 + {\omega_n}^2} + \frac{-\frac{1}{2} s}{s^2 + 3 {\omega_n}^2} $$

となります。

このX₁(s)を逆ラプラス変換を用いて複素数領域sから時間領域tに変換すると,

$$ x_1(t) = \frac{1}{2} \cos \left( \omega_n t \right) – \frac{1}{2} \cos \left( \sqrt{3} \omega_n t \right) $$

となり、質量m₁についての運動x₁(t)を式で表すことが出来ます。

同様に、X₂(s)について解いたものを逆ラプラス変換すると、

$$ x_2(t) = \frac{1}{2} \cos \left( \omega_n t \right) + \frac{1}{2} \cos \left( \sqrt{3} \omega_n t \right) $$

と質量m₂についての運動x₂(t)を式で表すことが出来ました。