実際にダンパーを含んだ剛体振り子の運動方程式を算出してみる

ばねとダンパーが付いている棒からなる質量-ばね-ダンパーモデルについて、実際にシステムの運動方程式を求めていきます。

システムの詳しい説明は、こちらの記事を参考にしてください。

質量とばね、ダンパーからなるモデルについて、各エネルギーからラグランジュ方程式を用いてシステムの運動方程式を求める方法を紹介します。...

質量-ばね-ダンパーモデル

今回は、図のような質量\(m\)で長さ\(L\)の棒が端点\(O\)で壁に接続され、その質量にばね\(k\)とダンパー\(c\)がついているモデルを扱います。

初期位置\(\theta_0\)で静かに棒を離した場合、どの様にシステムが運動するかを運動方程式を用いて求めます。

各エネルギーとラグランジュ方程式を用いた運動方程式の算出方法

各エネルギーを

  • 運動エネルギー(\(KE\))
  • 位置エネルギー(\(PE\))
  • 損失エネルギー(\(R_{NC}\))

とすると、ラグランジュ方程式を用いて、システムの運動方程式は、

$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial}{\partial \dot{x}} KE \right) + \frac{\partial}{\partial \dot{x}} R_{NC} + \frac{\partial}{\partial x} PE = 0$$

と表すことが出来ます。

各エネルギーを求めて、この式に代入し解くことでシステムの運動方程式を求めることが出来ます。

各エネルギーの算出

実際に図のシステムについて、各エネルギーを計算していきます。

運動エネルギー

回転運動する物体の運動エネルギー\(KE\)は、慣性モーメント\(I\)と加速度\(\dot{\theta}\)(または\(\omega\))の2乗に比例します。

物体が端点\(o\)を中心に回転した場合の慣性モーメント\(I_o\)は、

$$ I_o = \frac{1}{3} m L^2 $$

と表すことが出来ます。

よって、このシステムの運動エネルギーは、

$$ KE = \frac{1}{2} I_o \dot{\theta}^2 $$

$$ = \frac{1}{2} \left[\frac{1}{3} m L^2 \right] \dot{\theta}^2 $$

となります。

位置エネルギー

ばね\(k\)にとる位置エネルギー\(PE\)は、ばねの変位\(x\)の2乗に比例します。

今回のモデルについて、棒の角度が\(\theta\)の時のばねの変位\(x\)は、

$$ x = \frac{L}{2} \sin (\theta) $$

となります。ここで、角度\(\theta\)が小さいとすると、

$$ \sin (\theta) = \theta $$

と近似できるため、ばねの変位\(x\)は、

$$ x = \frac{L}{2} \theta $$

となります。

よって、このシステムの位置エネルギーは、

$$ PE = \frac{1}{2} k x^2 $$

$$ = \frac{1}{2} k \left( \frac{L}{2} \theta \right)^2 $$

となります。

損失エネルギー

ダンパー\(c\)にとる損失エネルギー\(R_{NC}\)は、速度\(\dot{x}\)の2乗に比例します。

今回のモデルについて、棒の角度が\(\theta\)の時のダンパーの速度\(x\)は、角度\(\theta\)が小さいとすると、

$$ \dot{x} = \frac{2 L}{3} \dot{\theta} $$

と近似することが出来ます。

よって、このシステムの損失エネルギーは、

$$ R_{NC} = \frac{1}{2} c \dot{x}^2 $$

$$ = \frac{1}{2} c \left( \frac{2 L}{3} \dot{\theta} \right)^2 $$

となります。

このように、今回のシステムについて各エネルギーを算出することが出来ました。

運動方程式の算出

先に求めた3つのエネルギーをラグランジュ方程式に代入していきます。

$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial}{\partial \dot{x}} KE \right) + \frac{\partial}{\partial \dot{x}} R_{NC} + \frac{\partial}{\partial x} PE = 0 $$

$$ \Rightarrow  \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial}{\partial \dot{\theta}} \frac{1}{2} \left[\frac{1}{3} m L^2 \right] \dot{\theta}^2 \right) + \frac{\partial}{\partial \dot{\theta}} \frac{1}{2} c \left[ \frac{4}{9} L^2 \right] \dot{\theta}^2 + \frac{\partial}{\partial \theta} \frac{1}{2} k \left[ \frac{1}{4} L^2 \right] \theta ^2 = 0 $$

$$ \Rightarrow \frac{1}{3} m L^2 \ddot{\theta} + \frac{4}{9} c  L^2 \dot{\theta} + \frac{1}{4} k  L^2 \theta = 0 $$

このように、各エネルギーからラグランジュ方程式を用いてシステムの運動方程式を求めることが出来ました。

まとめ

今回は、実際に質量-ばね-ダンパーモデルを例にとって、システムの運動方程式を求める方法を紹介しました。

次回は、今回求めたシステムの運動方程式から初期条件を使って実際のモデルの運動、振動の様子を計算していきたいと思います。

今回は、算出した運動方程式から実際にシステムの運動を求めていきます。 運動方程式の算出方法については、こちらの記事を参...
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