システムの安定性：ラウス配列の特別な例（その２）

ロボットなどの制御システムが安定か不安定かを判断することが出来るラウスの安定判別法と言う手法があります。

その際に必要となるラウス配列を作成する時に、ちょっとした工夫が必要となる特別なケースが２つあります。

前回の記事では、１つの要素が０になる場合について、$\varepsilon$を用いてラウス配列を作成する方法を紹介しました。

システムの安定性：ラウス配列の特別な例ラウスの安定判別法を用いることで、ロボットなどの制御システムが安定か不安定かを判断することが出来ます。前回の記事...

今回は、もう一つの特別な例である全ての要素が０になる場合についての対処法を紹介します。

全ての要素が０になる場合

特性方程式$D(s)$が、

$$ D(s) = s^5 + 2 s^4 + 6 s^3 + 10 s^2 + 8 s + 12 $$

で与えられる場合のラウス配列を作成していきます。

この特性方程式よりラウス配列を作成すると、

$$ \begin{eqnarray} \begin{array}{c|ccc} s^5 & 1 & 6 & 8 \\ s^4 & 2 & 10 & 12 \\ s^3 & \frac{2\cdot6-1\cdot10}{2}=1 & \frac{2\cdot8-1\cdot12}{2}=2 & 0 \\ s^2 & \frac{1\cdot10-2\cdot2}{1}=6 & \frac{1\cdot12-2\cdot0}{1}=12 & 0 \\ s^1 & \frac{6\cdot2-1\cdot12}{6}=0 & \frac{6\cdot0-1\cdot0}{6}=0 & 0 \\ \end{array} \end{eqnarray} $$

と$s^1$行の全ての要素の値が０になってしまいます。

そのため、このままでは次の行である$s^0$行を算出することが出来ません。

このように全ての要素が０になった場合は、１つ前の行の微分を用いることで０になった行の要素を算出します。

今回のシステムの場合、$s^1$行の全ての要素の値が０になったため、１つ前の行である$s^2$行の

$$ 6 s^2 + 12 s^0 = 0$$

を用います。

この$s^2$行を微分すると、

$$ 12 s^1 = 0$$

が得られます。

この微分により求めた値を用いて、ラウス配列の続きを計算していきます。

$$ \begin{eqnarray} \begin{array}{c|ccc} s^5 & 1 & 6 & 8 \\ s^4 & 2 & 10 & 12 \\ s^3 & \frac{2\cdot6-1\cdot10}{2}=1 & \frac{2\cdot8-1\cdot12}{2}=2 & 0 \\ s^2 & \frac{1\cdot10-2\cdot2}{1}=6 & \frac{1\cdot12-2\cdot0}{1}=12 & 0 \\ s^1 & \frac{6\cdot2-1\cdot12}{6}=0 \rightarrow 12 & \frac{6\cdot0-1\cdot0}{6}=0 & 0 \\ s^0 & \frac{12\cdot12-6\cdot0}{12}=12 & & \\ \end{array} \end{eqnarray} $$

求めたラウス配列の第１列から得られる数式

$$ \left[ 1, 2, 1, 6, 12, 12 \right] $$

の要素の符号が一致しているため、このシステムは安定であると言えます。

ここで、もう一度$s^2$行に注目すると、

$$ 6 s^2 + 12 s^0 = 0$$

$$ s^2 + 2 = 0$$

$$ s^2 = -2 $$

$$ \Rightarrow s = j \sqrt{2} $$

となります。

これより解の内２つが虚軸上に存在するため、このシステムは不安定でありませんが、安定限界であることが言えます。