伝達関数からボード線図を書く方法：微分要素の場合

システムの伝達関数が与えられた場合に、その伝達関数からボード線図を書く方法を紹介しています。

前回の記事では、比例要素が伝達関数として与えられた場合のボード線図の書き方を紹介しました。

伝達関数からボード線図を書く方法：比例要素の場合ボード線図を書くためには全ての周波数に対して、入力信号と出力信号の関係を求めて、ゲインと位相を算出する必要があります。 h...

今回は、微分要素が伝達関数で与えられた場合について、ボード線図の書き方を紹介していきたいと思います。

Contents

微分要素の伝達関数
ゲインと位相を算出
微分要素のボード線図
まとめ

微分要素の伝達関数

今回は、システムの伝達関数$G(s)$として

$$ G(s) = s $$

のように、微分要素が与えられた場合についてボード線図を求めていきます。

ここで、ボード線図は入力信号$u(t)$と出力信号$y(t)$の定常状態での関係を示すため、複素数$s$

$$ s = \sigma + j \omega $$

に含まれる実数部の$\sigma$は無視できるため、虚数部の$j \omega$のみを考慮すれば良いため、伝達関数の変数である複素数$s$を

$$ s = j \omega $$

と変換します。

よって、与えられた微分要素を表す伝達関数$G(s)$は

$$ G(j \omega) = j \omega $$

と書き換えることが出来ます。

ゲインと位相を算出

微分要素に対するボード線図を書くために、周波数とゲインおよび位相の関係を算出していきます。

入力信号$u(t)$が

$$ u(t) = M_{in} \sin (\omega t + \phi_{in}) $$

で表されるとき、微分要素$s$を通した出力信号$y(t)$は

$$ \begin{eqnarray} y(t) &=& \frac{d u(t)}{dt} = \omega M_{in} \cos (\omega t + \phi_{in}) \\ &=& \omega M_{in} \sin \left(\omega t + \phi_{in} + \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray} $$

となります。

よって、この伝達関数$G(j \omega)$から、振幅の値$A [dB]$は

$$ \begin{eqnarray} A &=& 20 \log M \\ &=& 20 \log \frac{\omega M_{in}}{M_{in}} \\ &=& 20 \log \omega \ [dB] \end{eqnarray} $$

となります。

また、位相の値$\phi [^{\circ}]$は

$$ \begin{eqnarray} \phi &=& \phi_{in} + \frac{\pi}{2} – \phi_{in} \\ &=& \frac{\pi}{2} \ [rad] \\ &=& 90 \ [^{\circ}] \end{eqnarray} $$

と求められます。

よって、伝達関数$G(s)$が微分要素$s$の場合のボード線図は、

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A(\omega) &=& 20 \log \omega \ [dB] \\ \phi(\omega) &=& 90 \ [^{\circ}] \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

となる事が分かりました。

微分要素のボード線図

算出した式よりゲイン線図の値について、信号の周波数$\omega$と振幅$A[dB]$の値は対数（$\log$）の関係になります。

$$ \begin{eqnarray} \begin{array}{c|c} \omega \ [rad/s] & A \ [dB] \\ \hline 10^{-2} & -40 \\ 10^{-1} & -20 \\ 10^0 & 0 \\ 10^1 & 20 \\ 10^2 & 40 \\ 10^3 & 60 \\ \end{array} \end{eqnarray} $$

ここで、ボード線図の横軸である周波数$\omega$も対数で表されるため、微分要素$s$のゲイン線図は直線で表すことが出来ます。

また、位相線図の値は信号の周波数に影響せずに一定値（$90^{\circ}$）となります。

これより、微分要素の伝達関数$G(s)$のボード線図は下図のようになります。