伝達関数からボード線図を書く方法：積分要素の場合

システムの伝達関数が与えられた場合に、その伝達関数からボード線図を書く方法を紹介しています。

前々回と前回の記事では、比例要素や微分要素が伝達関数として与えられた場合のボード線図の書き方を紹介しました。

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今回は、積分要素が伝達関数で与えられた場合について、ボード線図の書き方を紹介していきたいと思います。

Contents

積分要素の伝達関数
ゲインと位相を算出
積分要素のボード線図
まとめ

積分要素の伝達関数

今回は、システムの伝達関数$G(s)$として

$$ G(s) = \frac{1}{s} $$

のように、積分要素が与えられた場合についてボード線図を求めていきます。

ここで、ボード線図は入力信号$u(t)$と出力信号$y(t)$の定常状態での関係を示すため、複素数$s$

$$ s = \sigma + j \omega $$

について、虚数部$j \omega$のみを用いて

$$ s = j \omega $$

と変換します。

よって、与えられた積分要素を表す伝達関数$G(s)$は

$$ G(j \omega) = \frac{1}{j \omega} = – j \frac{1}{\omega}$$

と書き換えることが出来ます。

ゲインと位相を算出

積分要素に対するボード線図を書くために、周波数とゲインおよび位相の関係を算出していきます。

基本的な流れは、微分要素の場合と同様になります。

入力信号$u(t)$が

$$ u(t) = M_{in} \sin (\omega t + \phi_{in}) $$

で表されるとき、積分要素$\frac{1}{s}$を通した出力信号$y(t)$は

$$ \begin{eqnarray} y(t) &=& \int u(t) dt = – \frac{1}{\omega} M_{in} \cos (\omega t + \phi_{in}) \\ &=& \frac{1}{\omega} M_{in} \sin \left(\omega t + \phi_{in} – \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray} $$

となります。

よって、この伝達関数$G(j \omega)$から、振幅の値$A [dB]$は

$$ \begin{eqnarray} A &=& 20 \log M \\ &=& 20 \log \frac{\frac{1}{\omega} M_{in}}{M_{in}} \\ &=& 20 \log \frac{1}{\omega} \\ &=& – 20 \log \omega \ [dB] \end{eqnarray} $$

となります。

また、位相の値$\phi [^{\circ}]$は

$$ \begin{eqnarray} \phi &=& \phi_{in} – \frac{\pi}{2} – \phi_{in} \\ &=& – \frac{\pi}{2} \ [rad] \\ &=& -90 \ [^{\circ}] \end{eqnarray} $$

と求められます。

よって、伝達関数$G(s)$が積分要素$\frac{1}{s}$の場合のボード線図は、

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A(\omega) &=& – 20 \log \omega \ [dB] \\ \phi(\omega) &=& -90 \ [^{\circ}] \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

となる事が分かりました。

積分要素のボード線図

算出した式よりゲイン線図の値について、微分要素の場合と同様に信号の周波数$\omega$と振幅$A[dB]$の値は対数（$\log$）の関係になります。

$$ \begin{eqnarray} \begin{array}{c|c} \omega \ [rad/s] & A \ [dB] \\ \hline 10^{-2} & 40 \\ 10^{-1} & 20 \\ 10^0 & 0 \\ 10^1 & -20 \\ 10^2 & -40 \\ 10^3 & -60 \\ \end{array} \end{eqnarray} $$

ボード線図の横軸である周波数$\omega$も対数で表されるため、積分要素のゲイン線図は右下がりの直線で表されます。

また、位相線図の値は信号の周波数に影響せずに一定値（$-90^{\circ}$）となります。

これより、積分要素の伝達関数$G(s)$のボード線図は下図のようになります。