複雑なフィードバックシステムの根軌跡を詳細に描く:複素極と軌跡の角度

前々回前回の記事では、単位フィードバックシステムの根軌跡を詳細に書くために必要となる情報を求める方法を紹介しました。

これまでの記事では、複雑な単位フィードバックシステムの挙動を理解するために有効な手段である、根軌跡を書く方法を紹介しています。 ...
前回の記事では、複雑な単位フィードバックシステムの挙動を理解するために、詳細に根軌跡を書く方法を紹介しました。 ...

今回の記事では、さらに詳細に根軌跡を描くために複素極を始点とした軌跡の角度を求めていきます。

システムの伝達関数と根軌跡

今回取り扱っている単位フィードバックシステムの開ループ伝達関数は

$$ K G(s) H(s) = \frac{K (s+2) (s+3)}{(s^2+2s+2) (s+4) (s+5) (s+6)} $$

で表されます。

以前の記事では、この開ループ伝達関数から下図のようにフィードバックシステムの根軌跡を求めました。

前々回の記事から、この根軌跡をより詳細に書くために

  1. 実軸上からの分岐点 ←前々回の記事
  2. 虚軸との交点 ←前回の記事
  3. 複素極と軌跡の角度 ←今回の記事

について求めています。

詳しい求め方は、各リンク先の記事を参考にしてください。

前回までの記事では、実軸上の軌跡が分岐する点や合流する点を求め、さらに軌跡と虚軸との交点も求めることで、根軌跡をより詳細に作成しました。

これまでの記事では、複雑な単位フィードバックシステムの挙動を理解するために有効な手段である、根軌跡を書く方法を紹介しています。 ...
前回の記事では、複雑な単位フィードバックシステムの挙動を理解するために、詳細に根軌跡を書く方法を紹介しました。 ...

今回は、さらに詳細に根軌跡を描くための情報と複素極を始点とした軌跡の角度を求めていきたいと思います。

複素極と軌跡との角度

複素極を始点とした軌跡の角度を求めるために、他の極および零点から複素極への角度を算出します。

極および零点の位置(\(-1-j1, -2,-3,-4,-5,-6\))と対象の複素極(\(-1+j1\))の角度をそれぞれ\(\theta_2\)、\(\theta_3\)、\(\theta_4\)、\(\theta_5\)、\(\theta_6\)、\(\theta_7\)とすると、各角度は下記のように算出することが出来ます。

$$ \begin{eqnarray} \theta_2 &=& \arctan{\left(\frac{2}{0}\right)} = 90^{ \circ } \\ \theta_3 &=& \arctan{\left(\frac{1}{1}\right)} = 45^{ \circ } \\ \theta_4 &=& \arctan{\left(\frac{1}{2}\right)} = 26.6^{ \circ } \\ \theta_5 &=& \arctan{\left(\frac{1}{3}\right)} = 18.4^{ \circ } \\ \theta_6 &=& \arctan{\left(\frac{1}{4}\right)} = 14.0^{ \circ } \\ \theta_7 &=& \arctan{\left(\frac{1}{5}\right)} = 11.3^{ \circ } \end{eqnarray} $$

求めた他の極および零点からの角度を基に、複素極を始点とした軌跡の角度\(\theta_1\) を求めていきます。

複素極を始点とした軌跡の角度\(\theta_1\)と他の極および零点からの角度(\(\theta_2\)~\(\theta_7\))は

$$ – \theta_1 – \theta_2 + \theta_3 + \theta_4 – \theta_5 – \theta_6 – \theta_7 = \left(2k+1\right) 180^{ \circ } $$

という関係が成り立ちます。

詳しくは、こちらの記事を参考にしてください。

前回までの記事では、詳細な根軌跡を描くために必要となる情報として、実軸上から軌跡が分岐する点や軌跡と虚数軸との交点を求める方法を紹介...

この関係式より、軌跡の角度\(\theta_1\) について整理すると

$$ \theta_1 = – \theta_2 + \theta_3 + \theta_4 – \theta_5 – \theta_6 – \theta_7 – \left(2k+1\right) 180^{ \circ } $$

となります。

この軌跡の角度\(\theta_1\) の式に先に算出した他の極および零点からの角度(\(\theta_2\)~\(\theta_7\))を代入すると

$$ \begin{eqnarray} \theta_1 &=& – 90^{ \circ } + 45^{ \circ } + 26.6^{ \circ } – 18.4^{ \circ } – 14.0^{ \circ } – 11.3^{ \circ } – 180^{ \circ } \\ &=& -242.2^{ \circ } = 117.8^{ \circ } \end{eqnarray} $$

というように、複素極\(-1+j1\)を始点とした軌跡の角度を求めることが出来ました。

また、複素極\(-1-j1\)を始点とした軌跡の角度について、根軌跡のルールより根軌跡は実軸について対称となる事から

$$ \theta_2 = -117.8^{ \circ } $$

と求めることが出来ます。

根軌跡の結果

今回算出した軌跡の角度の情報を基に、前回までに書いた根軌跡を洗練していきます。

複素極を始点とした軌跡の角度はそれぞれ\(117.8^{ \circ }\)と\(-117.8^{ \circ }\)と分かったので、この情報を基に根軌跡を描くと下図のようになります。

これより、前回までの記事では考慮していなかった複素極を始点とした軌跡の角度を正確に示すことが出来ました。

まとめ

今回は、根軌跡を詳細に描くために必要となる情報として、実際にシステムの伝達関数から複素極を始点とした軌跡の角度を求めていきました。

これまで紹介してきた方法を用いることで、根軌跡を詳細に書くことができ、複雑なフィードバックシステムの挙動を可視化して、理解し易くすることが出来ました。

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