実際にBスプライン曲線で指令値を補間してみた：ロボットの軌跡生成

これまでのシリーズ記事では、Bスプライン曲線を用いた離散的で不連続な指令点を連続で滑らかに補間する方法を紹介しています。

Bスプライン曲線を使ってロボットの軌跡生成をしてみよう！（その１）前回の記事では、Bスプライン曲線とベジエ曲線について、それぞれの特徴と関係性を説明し、ロボットの軌跡生成への応用例を紹介しました...

今回の記事では、これまでに紹介した知識を用いて実際に2次のBスプライン曲線を作成して離散点をスムーズに補間していきたいを思います。

Contents

取り扱う指令点
Bスプライン曲線の基本式
ノットベクトルuの作成
Bスプライン基底関数を求める
Bスプライン曲線での補間結果
まとめ

取り扱う指令点

今回の記事では、上図のような離散的な指令点（✕）を2次のBスプライン曲線を用いて滑らかに補間します。

Bスプライン曲線の基本式

前回までの記事のおさらいです。

Bスプライン曲線の基本式は

$$ \boldsymbol{ S }(u) = \displaystyle \sum_{ i = 0 }^{ p-1 } \boldsymbol{ P }_i b_{i,n}(u) \ , \quad u \in [u_0,u_{m-1}] $$

と表されます。

また、B‐スプライン基底関数は

$$ \begin{eqnarray} \begin{array}{l} b_{j,0}(u) := \left\{ \begin{array}{l} 1 \quad \mathrm{if} \ u_j \leq u \lt u_{j+1}\\ 0 \quad \mathrm{otherwise} \end{array} \right. \ , \quad j=0,1,\cdots, m-2 \\ b_{j,k}(u) = \frac{u-u_j}{u_{j+k}-u_j} b_{j,k-1}(u) + \frac{u_{j+k+1}-u}{u_{j+k+1}-u_{j+1}} b_{j+1,k-1}(u) \ , \quad j=0,1,\cdots, m-k-2 \end{array} \end{eqnarray} $$

のようにノットベクトルu内のノットを用いて定義されます。

今回は、これらの式を用いて与えられた指令点から具体的にB‐スプライン曲線を描く方法を紹介します。

ノットベクトルuの作成

今回の記事で与えられた指令点の数pは6です。

また、用いるBスプライン曲線の次数nは2とします。

よって、作成するノットベクトルu内のノット（要素）の数mは

$$ m = p + n + 1 $$

の関係式より、m=6+2+1=9と分かります。

よって、ノット数m=9の開一様ノットベクトルuを求めていきます。

開一様ノットベクトルuについての詳細は、こちらの記事を参考にしてください。

Bスプライン曲線の次数n=2より、ノットベクトルuの始めと終わりのn+1=3個のノットは同じ値になるため

$$ \boldsymbol{u} = [0,0,0,\cdot,\cdot,\cdot,1,1,1] $$

となります。

そして、残った9-3×2=3個のノットを均等に配置すると

$$ \boldsymbol{u} = [0,0,0,0.25,0.5,0.75,1,1,1] $$

のように、ノットベクトルuを作成することが出来ました。

Bスプライン基底関数を求める

Bスプライン基底関数の式を基に実際にBスプライン基底関数の様子を求めていきます。

Bスプライン基底関数についての詳しい説明は、こちらの記事を参考にしてください。

Bスプライン曲線を使ってロボットの軌跡生成をしてみよう！（その２）前回の記事から、Bスプライン曲線を用いた離散的で不連続な指令点を連続で滑らかに補間する方法を紹介しています。 https:...

まずBスプライン基底関数b_j,0

$$ b_{j,0}(u) := \left\{ \begin{array}{l} 1 \quad \mathrm{if} \ u_j \leq u \lt u_{j+1}\\ 0 \quad \mathrm{otherwise} \end{array} \right. \ , \quad j=0,1,\cdots, 7 $$

について、先ほど求めたノットベクトルu

$$ \boldsymbol{u} = [0,0,0,0.25,0.5,0.75,1,1,1] $$

を用いて算出した結果は下図のようになります。