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可制御性をもつ線形システムの特徴:制御工学入門

本シリーズでは、制御工学で学ぶ基本的な知識から実際の応用例までを、なるべく分かりやすく解説しています。

制御工学(Control Engineering)についての情報を紹介します。 動的システムと制御方法 世の中にあふれる動的シス...

前々回前回の記事では、与えられた線形システムの可制御性を判定する方法を紹介しました。

本シリーズでは、制御工学で学ぶ基本的な知識から実際の応用例までを、なるべく分かりやすく解説しています。 ...
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今回の記事では、可制御性をもつ線形システムの特徴について紹介していきます。

可制御性の判定方法

入力uを含む線形システムの状態方程式

$$ \dot{\boldsymbol{ x }} = \boldsymbol{ A } \boldsymbol{ x } + \boldsymbol{ B } \boldsymbol{ u } \ , \quad \boldsymbol{ x } \in \boldsymbol{ R }^n $$

について、この線形システムの可制御性を判定する方法は、状態方程式に含まれる行列Aと行列Bを用いて

$$ \boldsymbol{ Co } = \begin{bmatrix} \boldsymbol{ B } & \boldsymbol{ A } \boldsymbol{ B } & \boldsymbol{ A }^2 \boldsymbol{ B } & \cdots & \boldsymbol{ A }^{n-1} \boldsymbol{ B } \end{bmatrix} $$

という式より行列Coを求め、この行列Coの階数が

$$ \mathrm{ rank } \left( \boldsymbol{ Co } \right) = n $$

であれば、この線形システムは可制御性であると言えます。

与えられた線形システムが可制御性である場合

  • 線形システムの固有値λを自由に決定する
  • 任意の状態xに到達する

ということが可能になります。

今回は、この可制御性であるシステムの特徴について紹介していきます。

自由に固有値を決定可能

与えられた線形システムが制御可能であるとき、システムの固有値の位置を自由に設計することが可能になります。

与えられた線形システムに対するフィードバック制御について、入力u

$$ \boldsymbol{ u } = – K \boldsymbol{ x } $$

とすると、このフィードバックシステムの閉ループ関数は

$$ \dot{\boldsymbol{ x }} = \left( \boldsymbol{ A } – \boldsymbol{ B } K \right) \boldsymbol{ x } $$

と表すことが出来ます。

これにより、不安定なシステムを安定なシステムにすることが出来ます。

例として、以前の記事で取り扱った振り子を制御する場合を考えます。

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このシステムについて、振り子が上向きの場合は固有値が複素平面の右側に存在することから、システムは不安定になります。

可制御性のある制御可能なシステムの場合、この固有値を自由な位置に置くように設計することが出来ます。

その結果、この右側に存在する固有値を左側に移動させることで、システムを安定に保つことが出来ます。

任意の状態に到達可能

与えられた線形システムが制御可能であるとき、システムの入力uを制御することで、任意の状態xに到達させることが出来ます。

この関係を式で表すと

$$ R_t = \left\{ \zeta \in \boldsymbol{ R }^n | \textrm{there is u(t) so that x(t) becomes ζ} \right\} $$

となります。

つまり、システムが可制御性である場合、状態x(t)が任意の状態ζとなるような入力u(t)が存在します。

たとえば、与えられた振り子のシステムが制御可能である場合、入力u(t)を上手く制御することで、振り子が下向きの状態x0から上向きの状態x1に到達させることが出来るということになります。

まとめ

今回の記事では、可制御性をもつ線形システムの特徴として、固有値を自由に設計可能な点と任意の状態に到達可能な点を紹介しました。

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